在備考的后期，適度的處理一些對你構成挑戰(zhàn)性的問題是有益的。本文在G·波利亞圍繞問題解決過程設計的一段師生對話的基礎上，添加了更具高中特征的一些內容，同時刪除了一些關于更深入的解題過程的議論，試圖闡釋高中階段具有挑戰(zhàn)性的數學問題解決的工作環(huán)節(jié)及其思維的發(fā)展脈絡。

　　一、熟悉問題

　　(“S”代表學生，“T”代表老師，下同)

　　S: 我應該從哪兒開始？

　　T: 從問題的敘述開始。

　　S: 我能做什么？

　　T: 觀察揣摩整個問題，盡量使其清晰而鮮明。可以暫時拋開細節(jié)。

　　S:這樣做，我能得到什么好處？

　　T: 你會明白問題，使自己熟悉問題，并把問題的目標牢記在腦海中。這樣全神貫注地對待問題也會調動你的記憶力，做好準備去重新聯想與問題有關的各點。

　　二、深入理解問題

　　S: 我應該從哪兒開始？

　　T: 還是從問題的敘述開始。當你對問題的敘述已清楚地印入腦海，以致你即使暫時不去看它，你也不怕把它忘掉時，你就可以開始下面的工作了。

　　S: 我能做什么？

　　T: 先把問題的主要部分剖析出來。未知數是什么？已知數據(包括已知數、已知圖形和已知事項等)是什么？條件是什么？畫張圖。并引入適當的符號。

　　S: 這樣做，我能得到什么好處？

　　T: 你會準備好并弄清楚以后可能起作用的細節(jié)。

　　三、探索有益的念頭

　　S: 我應該從哪兒開始？

　　T: 從考慮問題的主要部分開始。如求解問題的未知、已知與條件；求證問題的前提與結論。

　　S: 怎樣進行？

　　T: 首先從各個方面考慮你的問題。分別突出各個部分，考察各個細節(jié)，用不同的方式審查同一細節(jié)。試著在每一個細節(jié)發(fā)現某些新意義。把細節(jié)用不同的方式組合起來，從不同的角度考慮它，嘗試在整個問題中得到某些新解釋。其次試圖找出與你現有知識和解題方面的經驗等有關的內容。試想過去在類似的情況下有什么曾幫過你的忙。并按照如下的次序提出以下問題：

　　①你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

　?、诳粗粗獢?！試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉問題。

　?、圻@里有一個與你現在的問題有關且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了利用它，你是否應該引入某些輔助元素？

　?、苣隳懿荒苤匦聰⑹鲞@個問題？你能不能用不同的方式重新敘述它？利用普遍化、特殊化、類比、舍去一部分限制等手段了嗎？

　　⑤回到定義去！

　?、弈闶欠窭昧怂械囊阎獢祿?？你是否利用了所有條件？

　　等等……

　　S: 你能告訴我這六個提問的設計意圖嗎？

　　T: 問題①和②的設計旨在找尋在過去解題過程中與現有問題相同或相似的問題，不過兩者還是有區(qū)別的，前者是從整個問題的角度尋求相同或相似的問題，后者是從問題的主要部分上來找尋相同或相似的問題。

　　問題③是在找到與現在的問題有關且早已解決的問題時，我們又應如何利用？值得注意的是，這里可以利用的應含括三個方面：原問題的結果、方法以及結果和方法同時使用。

　　通常問題①②③能激起一連串正確的想法，但它們也不是萬靈的。一旦上述三個問題的提問沒有實質性的突破，這時我們不得不變化、變換我們的問題，問題④就是在這樣的背景下提出來的。

　　當我們陷入更為被動的狀態(tài)時，我們通過提出問題⑤，以其獲得原問題更為準確或新的角度的認識。

　　問題⑥的提出位置應該放置在熟悉和理解問題的環(huán)節(jié)上，這里提出來是防止我們陷入對問題的某個部分或細節(jié)的過度關注，以致顧此失彼。

　　四、實現計劃

　　S: 我應該從哪兒開始？

　　T: 從剛剛構建的思路開始。當你感到你已清楚要做的主要工作，并且自信能提供可能需要的運算與論證，就可以開始工作了。

　　S: 怎樣進行？

　　T: 詳細地進行你以前認為可行的代數運算和幾何運算。如果你的問題很復雜，可以分成“大”步驟和“小”步驟，每一大步驟又由幾個小步驟組成。首先檢查大步驟，以后再檢驗小步驟。

　　五、回顧

　　S: 我應該從哪兒開始？

　　T: 從解答開始，它的每一個細節(jié)都應該是完整而正確的。

　　S: 怎樣進行？

　　T: 從各個方面考慮這個解，找出與你已有知識之間的聯系。

　　考慮解的細節(jié)，研究每一個細節(jié)的正確性；并嘗試使它們盡可能的簡單；研究解答中較冗長的部分，使它們更短些；試著一眼就看出整個解。

　　試著去改進解的各部分，使它直觀。

　　總結你解題的方法，嘗試看出它的要點，并且嘗試把它用于其他問題。

　　總結所得結果并試著用于其他的問題。

　　S: 這樣做，我能有什么好處？

　　T: 你可能找出一個新的更好的解，你可能發(fā)現新的有趣的事實。無論如何，如果用這個方式養(yǎng)成研究與總結你的解的習慣，你將獲得某些井然有序的、便于應用的知識，并且將會極大地提升你的解題能力。

原載《沈陽晚報》轉自新浪網